Question

已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直 線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析；（3）證明詳見解析.

試題分析：（1）利用橢圓的定義、離心率的定義、的關系列出方程組，解得的值；（2）由右準線方程設出點坐標，由垂直的充要條件得，表達出，將點代入橢圓中，即，代入中，化簡得常數；（3）設出點，代入橢圓方程中，設，由得向量關系，得到與的關系，據與及與系數比為2:3，得在直線.
試題解析：（1）由題意可得，解得，，,
所以橢圓：．                                   2分
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為，
設，
因為PF₂⊥F₂Q，所以，
所以，
又因為且代入化簡得．
即直線與直線的斜率之積是定值．                     7分.
（3）設過的直線l與橢圓交于兩個不同點，點
，則，．
設，則，
∴，，
整理得，，，
∴從而，
由于，，∴我們知道與的系數之比為2：3，與的系數之比為2：3．
∴，
所以點恒在直線上．                                  13分