Question

【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標是ρ=2asinθ，直線l的參數方程是 （t為參數）．
（1）若a=2，M為直線l與x軸的交點，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值；
（2）若直線l被圓C截得的弦長為 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l的參數方程是 ，a=2時，化為普通方程： （x﹣2）．令y=0，解得x=2，可得M（2，0）．圓C的極坐標是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐標方程：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．

|MC|=2 ，∴|MN|的最大值為2 +2

（2）解：圓C的方程為：x2+（y﹣a）2=a2，直線l的方程為：4x+3y﹣4a=0，

圓心C到直線l的距離d= = ．

∴ =2 ，解得a=

【解析】（1）直線l的參數方程是 ，a=2時，化為普通方程： （x﹣2）．可得M（2，0）．圓C的極坐標是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程，求出|MC|=2 ，可得|MN|的最大值為2 +r．（2）圓C的方程為：x2+（y﹣a）2=a2，直線l的方程為：4x+3y﹣4a=0，利用點到直線的距離公式與弦長公式即可得出．