Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）．
（1）若關于x的不等式f（x）≥0的解集為R，求實數a的取值范圍；
（2）若關于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，求a，b的值；
（3）若關于x的不等式f（x）≤0的解集是 P，集合Q={x|0≤x≤1}，若 P∩Q=，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R），

且關于x的不等式f（x）≥0的解集為R，

∴△=（a+1）2﹣4≤0，

解得﹣3≤a≤1，

∴實數a的取值范圍是﹣3≤a≤1；

（2）解：∵關于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，

∴對應方程x2﹣（a+1）x+1=0的兩個實數根為b、2，

由根與系數的關系，得 ，

解得a= ，b= ；

（3）解：∵關于x的不等式f（x）≤0的解集是 P，

集合Q={x|0≤x≤1}，當 P∩Q=時，

即不等式f（x）＞0對x∈Q恒成立；

∴x∈[0，1]時，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，

∴a+1＜x+ 對于x∈（0，1]時恒成立；

∴a+1＜2，

即a＜1，

∴實數a的取值范圍是a＜1．

【解析】（1）應用一元二次不等式恒成立時判別式△≤0，求出a的取值范圍；（2）根據一元二次不等式與對應一元二次方程的關系，列出方程組，求出a、b的值；（3）問題轉化為不等式f（x）＞0對x∈Q恒成立，由此求出a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了集合的交集運算和解一元二次不等式的相關知識點，需要掌握交集的性質：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立；求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．