Question

在四棱錐中，側面底面，，底面是直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設為側棱上一點，，試確定的值，使得二面角為.

Answer 1

（Ⅰ）以為原點建立空間直角坐標系則
，，所以，， 又由平面，可得，所以平面.（Ⅱ）

解析試題分析：解法一：
（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分 
所以,  .……2分
如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

則 3分
，，
所以，， 4分
又由平面，可得，所以平面. 6分
（Ⅱ）平面的法向量為， 7分
，，
所以，  8分
設平面的法向量為，，，
由，，得
所以，，  9分
所以，  10分
所以，  11分
注意到，得.  12分   
法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD   ①…. .…..……2分
取CD中點E，連結BE，則BE⊥CD，且BE=1
在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=  4分
∵, ∴BC⊥BD  ②5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD.        6分
（Ⅱ）過Q作QF//BC交PB于F，過F作FG⊥BD于G，連結 GQ.
∵BC⊥面PBD，QF//BC
∴QF⊥面PBD，∴FG為QG在面PBD上的射影，
又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG
∴∠FGQ為二面角Q-BD-P的平面角；由題意，∠FGQ="45°" 8分
設PQ=x，易知
∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴ 10分
在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°
∴FQ=FG，即  ∴… 11分
∵   ∴     ∴… 12分
考點：線面垂直及二面角
點評：本題中結合已知條件可知利用空間向量法求解較簡單，要證明線面垂直只需證明直線的方向向量與平面的法向量平行，二面角大小為只需滿足兩半平面的法向量夾角為