Question

15、定義域和值域均為[-a，a]（常數a＞0）的函數y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖所示，給出下列四個命題：
①方程f[g（x）]有且僅有三個解；
②方程g[f（x）]有且僅有三個解；
③方程f[f（x）]有且僅有九個解；
④方程g[g（x）]有且僅有一個解．
那么，其中正確命題的個數是

①④

．

Answer 1

分析：通過f（x）=0可知函數有三個解，g（x）=0有一個解，具體分析（1），（2），（3），（4）推出正確結論．

解答：解：（1）方程f[g（x）]=0有且僅有三個解；g（x）有三個不同值，由于y=g（x）是減函數，所以有三個解，正確；
（2）方程g[f（x）]=0有且僅有三個解；從圖中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3個解，不正確；
（3）方程f[f（x）]=0有且僅有九個解；類似（2）不正確；
（4）方程g[g（x）]=0有且僅有一個解．結合圖象，y=g（x）是減函數，故正確．
故答案為：①④．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，函數的圖象，考查邏輯思維能力，是基礎題．