【題目】已知函數
在
處取得極值．
（1）求
的解析式及單調區間；
（2）若
對任意的
，
恒成立，證明
.
參考數據：
.
【答案】(1) 
；
在
遞減，在
遞增.(2)見證明
【解析】
（1）根據條件可得
，解出m代入f'（x）中，然后判斷寫出單調區間即可；
（2）將問題轉化為g（x）＝xlnx+1﹣ax﹣b≥0恒成立，求出g（x）的最小值，然后由g（x）min≥0，可得ab≤a﹣aea﹣1，然后構造函數h（x）＝x﹣xex﹣1（x＞0），求出h（x）的最大值即可證明ab
．
解：（1）∵f（x）＝（x+m）lnx+1，∴f'（x）
（x＞0），
∵f（x）在x
處取得極值，∴， ∴m＝0，
∴f（x）＝xlnx+1，∴f'（x）＝lnx+1，
∵當0＜x
時，f'（x）＜0；當x
時，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調減區間為（0，
），單調增區間為（，
）
（2）
，即
.
記
，則
，由
，得
.
所以
.
由
，得
，于是
，其中
.
記
，則
，
，
顯然
時，
，即
在
時單調遞減，因為
，
，
所以存在
，使
，即
.且
在
單調遞增，在
單調遞減，
所以
，，
令
，上述函數變形為
，
，
在
單調遞增，
所以
，即
，故
也即
成立.
優質課堂快樂成長系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構造得到．任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把“中間一段”去掉，這樣，原來的條線段就變成了4條小線段構成的折線，稱為“一次構造”；用同樣的方法把每一條小線段重復上述步驟，得到了16條更小的線段構成的折線，稱為“二次構造”，…，如此進行“
次構造”，就可以得到一條科曲線．若要科赫曲線的長度達到原來的100倍，至少需要通過構造的次數是（ ）．（取
）
A.15B.16C.17D.18
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列｛
｝的首項a1＝2，前n項和為
，且數列｛
｝是以
為公差的等差數列·
（1）求數列｛｝的通項公式；
（2）設
，
，數列｛
｝的前n項和為
，
①求證：數列｛
｝為等比數列，
②若存在整數m，n(m＞n＞1)，使得
，其中
為常數，且
－2，求的所有可能值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝（k＋
）lnx＋
，k∈[4，＋∞），曲線y＝f（x）上總存在兩點M（x1，y1），N（x2，y2），使曲線y＝f（x）在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為
A. （
，＋∞） B. （
，＋∞） C. [，＋∞） D. [，＋∞）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
，
.
（1）當
時，若對任意
均有
成立，求實數
的取值范圍；
（2）設直線
與曲線
和曲線
相切，切點分別為
，
，其中
.
①求證：
；
②當
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，制表如圖：
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規定每件4.5元；乙公司規定每天35件以內（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（1）根據表中數據寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數的平均數和眾數；
（2）為了解乙公司員工B的每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為X（單位：元），求X的分布列和數學期望；
（3）根據表中數據估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市為了了解該市教師年齡分布情況，對年齡在
內的5000名教師進行了抽樣統計，根據分層抽樣的結果，統計員制作了如下的統計表格：
年齡區間 |
|
|
|
|
教師人數 | 2000 | 1300 | ||
樣本人數 | 130 |
由于不小心，表格中部分數據被污染，看不清了，統計員只記得年齡在
的樣本人數比年齡在
的樣本人數多10，根據以上信息回答下列問題：
（1）求該市年齡在的教師人數；
（2）試根據上表做出該市教師按照年齡的人數頻率分布直方圖，并求該市教師年齡的平均數
及方差
(同一組的數據用該組區間的中點值作代表).
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