Question

【題目】設函數f（x）=a﹣ ，
（1）若x∈[ ，+∞），①判斷函數g（x）=f（x）﹣2x的單調性并加以證明；②如果f（x）≤2x恒成立，求a的取值范圍；
（2）若總存在m，n使得當x∈[m，n]時，恰有f（x）∈[2m，2n]，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①x∈[ ，+∞）時，g（x）=f（x）﹣2x=a﹣ ．

任取 ，

= ．

∵ ，∴x2﹣x10，x1x2＞0．

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，g（x1）＜g（x2）．

∴g（x）在[ ，+∞）上單調遞減．

②f（x）≤2xg（x）≤0，∵g（x）在[ ，+∞）上單調遞減，

∴ ，∴

（2）解：∵f（x）=a﹣ 的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴mn＞0

若n＞m＞0，則 ，且在[m，n]上遞增，∴ ，∴ ．

∴m，n是 的兩個根，即2x2﹣ax+1=0的兩個根，

∴ ，解得 ．

若m＜n＜0，則f（x）=a+ ，且在[m，n]上遞減，

∴ ，∴ ，相減得：mn= ，代回得：a=0．

綜上所得：a的取值范圍是（ ）∪{0}

【解析】（1）①把f（x）的解析式代入后，直接利用函數的單調性的定義證明；②由①中的單調性求出g（x）的最大值，由最大值小于等于0求解a的范圍；（2）求出函數的定義域，然后分m，n同正和同負兩種情況分析，借助于函數的單調性的方程組，然后再轉化為方程的根進行分析．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．