分析：求解本題，宜先將S
2=
化簡用首項與公差、公比表示出來
（Ⅰ）b
2是a
1，a
3的等差中項，由此可以得到2b
2=a
1+a
3，將其與S
2=
聯(lián)立即可求得兩數(shù)列的公差與公比，由通項公式求出通項即可．
（Ⅱ）由{
ban}是公比為9的等比數(shù)列，引入公比q，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到
=
=q
d=9，即q
d=3
2．與S
2=
結(jié)合可得q=
．再由a
n∈N
*，知d是正整數(shù)，再結(jié)合q
d=3
2．對d，q的值進行判斷，驗證即得d，q的值，由此S
n可求出，求出其倒數(shù)，利用放縮法將其倒數(shù)變?yōu)榭梢粤秧椀男问剑瑢⑶皀項的和的倒數(shù)放大即可證明不等式．
解答：解：設(shè)等差數(shù)列{a
n}的公差為d，等比數(shù)列{b
n}公比為q．
（Ⅰ）∵S
2=
，∴a
1+a
1+d=
，，而a
1=b
1=1，則q（2+d）=12．①
又∵b
2是a
1，a
3的等差中項，
∴a
1+a
3=2b
2，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
聯(lián)立①，②，解得
或
（4分）
所以a
n=1+（n-1）•2=2n-1，b
n=3
n-1；
或a
n=1+（n-1）•（-5）=6-5n，b
n=（-4）
n-1．（6分）
（Ⅱ）∵a
n∈N
*，
ban=b
1qan-1=q
1+（n-1）d-1=q
（n-1）d，
∴
=
=q
d=9，即q
d=3
2．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=
．②
∵a
1=1，a
n∈N
*，∴d為正整數(shù)，從而根據(jù)①②知q＞1且q也為正整數(shù)，
∴d可為1或2或4，但同時滿足①②兩個等式的只有d=2，q=3，
∴a
n=2n-1，S
n=
=n
2．（10分）
∴
=
＜
=
（
-
）（n≥2）．
當n≥2時，
+
+…+
=
+
+
+…+
＜1+2（
-
）+2（
-
）+…+2（
-
）
=1+2[（
-
）+（
-
）+…+（
-
）]
=
-
＜
．
顯然，當n=1時，不等式成立．
故n∈N
*，
+
+…+
＜
．（14分）
思路2或者和文科題的解法相同，前兩項不變，從第三項
開始縮小：
當n≥2時，
+
+…+
＜1+
+
（
-
）+
（
-
）+…+
（
-
）
=1+
+
[（
-
）+（
-
）+…+（
-
）]
=1+
+
（
+
-
-
）
=
-
-
＜
．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查了根據(jù)題設(shè)中的條件建立方程求數(shù)列的通項以及用放縮法與裂項求和的技巧證明不等式，本題綜合性較強，難度較大，解題過程中有兩點比較關(guān)鍵，一是根據(jù)數(shù)列的項是正整數(shù)判斷出公差與公比的值，一是由放縮法將前n項的倒數(shù)和進行放大為可以裂項的形式，題后應(yīng)對這兩點好好總結(jié)．
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