Question

已知數列{a_n}是公差為1的等差數列，{b_n}是公比為2的等比數列，S_n，T_n分別是數列{a_n}和{b_n}前n項和，且a₆=b₃，S₁₀=T₄+45
①分別求{a_n}，{b_n}的通項公式．
②若S_n＞b₆，求n的范圍．
③令c_n=（a_n-2）b_n，求數列{c_n}的前n項和R_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列、等比數列的通項公式及求和公式表示已知，聯立方程可求a₁，b₁，即可求解
（2）先根據等差數列的求和公式及通項公式表示已知不等式中的項，然后解二次不等式即可求解
（3）利用錯位相減法求解數列的和即可

解答：解：（1）由題意可得，

a1+5=4b1 10a1+45=45+ b1(1-24) 1-2

聯立方程可得：a₁=3，b₁=2
∴a_n=n+2，bn=2n
（2）∵a_n=n+2，bn=2n
∴Sn=

n(n+5)

2

，b6=26=64
∴

n(n+5)

2

＞64，
∴n≥10，n∈N^*
3）∵c_n=（a_n-2）b_n=n•2ⁿ
∴Rn=1•2+2•22+…+n•2n
2R_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-R_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2×

1-2n

1-2

-n•2n+1
∴Rn=2+(n-1)×2n+1

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的通項公式及求和公式的應用，錯位相減求和方法的應用是求解（3）的關鍵