Question

在一個數(shù)列中，如果?n∈N^*，都有a_n•a_n+1•a_n+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{a_n}是等積數(shù)列，且a₁=1，a₂=3，公積為27，則a₁+a₂+a₃+…+a₁₈=

78

．

Answer 1

分析：根據(jù)“等積數(shù)列”的概念，a₁=1，a₂=3，公積為27，可求得a₃，a₄，…a₁₈，利用數(shù)列的求和公式即可求得答案．

解答：解：依題意，數(shù)列{a_n}是等積數(shù)列，且a₁=1，a₂=3，公積為27，
∴a₁•a₂•a₃=27，即1×3a₃=27，
∴a₃=9．
同理可求a₄=1，a₅=3，a₆=9，…
∴{a_i}是以3為周期的數(shù)列，
∴a₁=a₄=…=a₁₆=1，
a₂=a₅=…=a₁₇=3，
a₃=a₆=…=a₁₈=9．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₈=（1+3+9）×6=78．
故答案為：78．

點評：本題考查數(shù)列的求和，求得{a_i}是以3為周期的數(shù)列是關鍵，考查分析觀察與運算能力，屬于中檔題．