Question

已知實數函數（為自然對數的底數）．
（Ⅰ)求函數的單調區間及最小值；
（Ⅱ）若≥對任意的恒成立，求實數的值；
（Ⅲ）證明：

Answer 1

（Ⅰ）單調遞減區間為，單調遞增區間為，；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

試題分析：（Ⅰ）利用導數分析函數的單調性，由得出函數單調遞減區間為，單調遞增區間為，從而；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時的單調性可知，即，構造函數，由導函數分析可得在上增，在上遞減，則，由對任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，由于，從 而由放縮和裂項求和可得：
 .
試題解析：（I）當，
由， 得單調增區間為；
由，得單調減區間為 ，                       2分
由上可知                           4分
（II）若對恒成立，即，
由（I）知問題可轉化為對恒成立 ．       6分
令 ，  ，
在上單調遞增，在上單調遞減，
∴．
即 ， ∴ ．                   8分
由圖象與軸有唯一公共點,知所求的值為1．   9分
（III）證明：由（II）知，  則在上恒成立．
又，                      11分

                        12分
．14分