Question

.已知定義在R上的函數f（x）=( a , b , c , d∈R )的圖象關于原點對稱，且x = 1時，f（x）取極小值。
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，圖象舊否存在兩點，使得此兩面三刀點處的切線互相垂直？試證明你的結論；
（Ⅲ）若∈[-1，1]時，求證：| f ()-f（）|≤。

Answer 1

（1）f(x)= 
（2） 當x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使得結論成立
（3）同解析

Ⅰ）∵函數f（x）的圖象關于原點對稱，
∴f（0）= 0，即4d = 0,∴d = 0
又f（-1）=" -" f（1），
即-a - 2b - c =" -a" + 2b – c ，∴b = 0
∴f（x）=+cx ,f ′（x）= 3a+c .
∵x = 1時，f(x)取極小值，
∴ 3a + c = 0且 a + c = .
解得a =  ,c = .  
∴f(x)=
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使得結論成立。
假設圖象上存在兩點A（，），B（，），使得過此兩點處的切線互相垂直，則由f ′（x）=(-1)知兩點處的切線斜率分別為=，
=，且 =" 1            " （*）
∵，∈[-1，1]，
∴-1≤0，-1≤0
∴（-1）（-1）≥0 此與（*）矛盾，故假設不成立
（Ⅲ）（理科）證明：f ′（x）=（-1），令f ′（x）= 0，得x = ±1
∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時，f ′（x）＞0，x∈（-1，1）時，f ′（x）＜0
∴f（x）在[-1，1]上是減函數，且（x）=f(-1)=,(x)=f(1)=.
∴在[-1，1]上| f（x）|≤，于是，∈[-1，1]時，
|f()-f()|≤|f()|+|f()|≤