Question

【題目】關于函數 有以下四個命題：

①對于任意的，都有； ②函數是偶函數；

③若為一個非零有理數，則對任意恒成立；

④在圖象上存在三個點，，，使得為等邊三角形．其中正確命題的序號是__________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①根據函數的對應法則，可得不論x是有理數還是無理數，均有f（f（x））＝1；

②根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數；

③根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質可判斷；

④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三點恰好構成等邊三角形，即可判斷．

①∵當x為有理數時，f（x）＝1；當x為無理數時，f（x）＝0，

∴當x為有理數時，f（f（x））＝f（1）＝1；當x為無理數時，f（f（x））＝f（0）＝1，

即不論x是有理數還是無理數，均有f（f（x））＝1，故①正確；

②∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，

∴對任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），f（x）為偶函數，故②正確；

③由于非零有理數T，若x是有理數，則x+T是有理數；

若x是無理數，則x+T是無理數，

∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，

f（x+T）＝f（x）對x∈R恒成立，故③正確；

④取x1，x2＝0，x3，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，

∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．

故答案為：①②③④．