Question

【題目】已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC= BC=a，E是BC的中點(diǎn)，將△BAE沿著AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F(xiàn)，G分別為B1D，AE的中點(diǎn)．

（1）求三棱錐E﹣ACB1的體積；
（2）證明：B1E∥平面ACF；
（3）證明：平面B1GD⊥平面B1DC．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，AD∥EC且AD=EC，所以四邊形ADCE為平行四邊形，

∴AE=DC=a，

∴△ABE為等邊三角形，

∴∠AEC=120°，

∴

連結(jié)B1G，則B1G⊥AE，又平面B1AE⊥平面AECD交線AE，

∴B1G⊥平面AECD且

∴

（2）證明：連接ED交AC于O，連接OF，

∵AEDC為菱形，且F為B1D的中點(diǎn)，

∴FO∥B1E，

又B1E面ACF，F(xiàn)O平面ACF，

∴B1E∥平面ACF

（3）證明：連結(jié)GD，則DG⊥AE，又B1G⊥AE，B1G∩GD=G，

∴AE⊥平面B1GD．

又AE∥DC，∴DC⊥平面B1GD，又DC平面B1DC

∴平面B1GD⊥平面B1DC．

【解析】（1）由題意知，AD∥EC且AD=EC，所以四邊形ADCE為平行四邊形，得到AE=DC，得到∠AEC=120°，首先求出△AEC的面積，進(jìn)一步求出高B1G，利用體積公式可求；（2）連接ED交AC于O，連接OF，利用AEDC為菱形，且F為B1D的中點(diǎn)得到FO∥B1E，利用線面平行的判定定理可證；（3）證明：連結(jié)GD，則DG⊥AE，又B1G⊥AE，B1G∩GD=G，判斷AE⊥平面B1GD，利用面面垂直的判定定理可證．
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．