Question

若圓上恰好存在兩個點P，Q，他們到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，則稱該圓為“完美型”圓．下列圓中是“完美型”圓的是（　　）

A．x2+y2=1	B．x2+y2=16
C．（x-4）2+（y-4）2=4	D．（x-4）2+（y-4）2=16

Answer 1

設直線l'：3x+4y+m=0，l'與l的距離等于1
則

|-12-m|

5

=1，解之得m=-7或-17，即l'的方程為3x+4y-7=0或3x+4y-17=0
可得當圓與3x+4y-7=0、3x+4y-17=0恰好有2個公共點時，滿足該圓為“完美型”圓．
對于A，因為原點到直線l'的距離d=

7

5

或

17

5

，兩條直線都與x²+y²=1相離
故x²+y²=1上不存在點，使點到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故A不符合題意
對于B，因為原點到直線l'的距離d=

7

5

或

17

5

，兩條直線都與x²+y²=16相交
故x²+y²=16上不存在4個點，使點到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故B不符合題意
對于C，因為點（4，4）到直線l'的距離d=

21

5

或

11

5

，兩條直線都與（x-4）²+（y-4）²=4相離
故（x-4）²+（y-4）²=4上不存在點，使點到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故C不符合題意
對于D，因為點（4，4）到直線l'的距離d=

21

5

或

11

5

，
所以兩條直線中3x+4y-7=0與（x-4）²+（y-4）²=16相離，而3x+4y-17=0（x-4）²+（y-4）²=16相交
故（x-4）²+（y-4）²=16上恰好存在兩個點P、Q，使點到直線l：3x+4y-12=0的距離為1，故D符合題意
故選：D