Question

設函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），求證：
（1）f（0）=0；
（2）f（3）=3f（1）；
（3）f(

1

2

)=

1

2

f(1)．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，即可得到關于f（0）的方程，解方程即可求出；
（2）先令x=1，y=1，代入恒等式求f（2），再令x=2，y=1求f（3）；
（3）x=y=

1

2

，由恒等式整理既得所要的結論．

解答：解：（1）∵對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）∴當x=y=0時，有f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0
（2）同（1），∵f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）∴f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）
（3）同（1），取x=y=

1

2

，有f(1)=f(

1

2

)+f(

1

2

)∴f(

1

2

)=

1

2

f(1)

點評：本題考查抽象函數及其應用，求解的關鍵是理解恒等式的意義以及靈活賦值的方式，利用恒等式求值或式，根據要求的或要證的進行選擇性賦值很關鍵．