Question

（Ⅰ）已知矩陣A=

0 1 a 0

，矩陣B=

0 2 b 0

，直線l₁：x-y+4=0經矩陣A所對應的變換得直線l₂，直線l₂又經矩陣B所對應的變換得到直線l₃：x+y+4=0，求直線l₂的方程．
（Ⅱ）求直線

x=-1+2t y=-2t

被曲線

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

截得的弦長．

Answer 1

分析：對于（Ⅰ）因為直線l₁經矩陣A所對應的變換得直線l₂，直線l₂又經矩陣B的變換得到直線l₃．故直線l₁經矩陣AB所對應的變換可直接得到直線l₃，故可求出矩陣AB，即求出參量a，b．然后根據矩陣變換求得直線l₂的方程即可．
對于（Ⅱ）求直線被曲線所截得的弦長，因為直線和曲線都是參數方程，需要消去參數把它們都化成標準方程，然后根據點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，在根據三角形的勾股定理求得弦長即可．

解答：（Ⅰ）解：根據題意可得：直線l₁經矩陣AB所對應的變換可直接得到直線l₃
：BA=

02 b0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

，得l₁變換到l₃的變換公式

x′=2ax y′=by

，
則得到直線2ax+by+4=0  即直線l₁：x-y+4=0，
則有

2a=1 b=-1

解得a=

1

2

，b=-1．
此時B=

0 2 -1 0

，同理可得l₂的方程為2y-x+4=0
故答案為：x-2y-4=0．
（Ⅱ）解：直線

x=-1+2t y=-2t

的普通方程為x+y+1=0，
曲線

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

即圓心為（1，-1）半徑為4的圓．
則圓心（1，-1）到直線x+y+1=0的距離d=

|1-1+1|

12+12

=

2

2

設直線被曲線截得的弦長為t，則t=2

42-( 2 2 )2

=

62

，
∴直線被曲線截得的弦長為

62

．

點評：此題主要考查了矩陣變換和直線及圓的參數方程的化簡，題中涉及到點到直線公式和勾股定理的應用，屬于綜合性試題．