Question

【題目】橢圓，右焦點為，是斜率為的弦，的中點為，的垂直平分線交橢圓于，兩點，的中點為.當時，直線的斜率為（為坐標原點）.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設原點到直線的距離為，求的取值范圍；

（3）若直線，直線的斜率滿足，判斷并證明是否為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，證明過程見解析.

【解析】

（1）先設，，根據題意，得到，兩式作差，根據弦中點的坐標，由題意，求出，再根據焦點坐標，得到，兩式聯立，即可求出結果；

（2）先設直線的方程為：，與橢圓方程聯立，設，，

根據韋達定理，求出，得到的方程為：，與橢圓方程聯立，設，，

求出，表示出，根據點到直線距離公式，表示出，進而可根據換元法求取值范圍；

（3）根據（2）的結果，由，求出，再由弦長公式，分別求出與，進而可得出結果.

（1）設，，

由題意，，兩式作差，得，

整理得：，

又是斜率為的弦，的中點為，當時，直線的斜率為，

所以，即，即①，

又橢圓右焦點為，所以②，

由①②解得：，，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）設直線的方程為：，

由消去得，，

設，，

則，所以，

故，

因為是的垂直平分線，所以的方程為：，

即，

由消去得，，

設，，

則，

所以，

即的中點的坐標為，

因此

，

又原點到直線的距離，

所以，

令，則；

（3）由（2）可得：，

所以，

因為直線，直線的斜率滿足，

所以，整理得：，所以，

所以，

，

因此.

即取定值.