Question

已知直線l：3x+4y-2=0
（Ⅰ）求經過直線l與直線x+3y-4=0的交點P，且垂直于直線x-2y-1=0的方程；
（Ⅱ）求直線l與兩坐標軸圍成的三角形的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立直線l與直線x+3y-4=0組成方程組，求出方程組的解得到交點P的坐標，由兩直線垂直時斜率的乘積為-1，及直線x-2y-1=0的斜率，求出所求直線的斜率，即可確定出所求直線的方程；
（Ⅱ）對于直線l，分別令x與y為0，求出對應y與x的值，確定出直線與坐標軸交點坐標，由兩坐標軸垂直，得到一個角為直角，利用直角所對的弦為直徑，利用勾股定理求出直徑的長，進而確定出半徑的長，由線段中點坐標公式求出圓心坐標，即可確定出三角形外接圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：

3x+4y-2=0 x+3y-4=0

，
解得：

x=-2 y=2

，即P（-2，2），
∵所求直線垂直于直線x-2y-1=0的方程，
∴所求直線的斜率為-2，
則所求直線方程為y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；
（Ⅱ）對于直線l：3x+4y-2=0，
令x=0，解得y=

1

2

；令y=0，解得x=

2

3

，
∴直線l與坐標軸的交點為（0，

1

2

），（

2

3

，0），
∴外接圓圓心坐標為（

1

3

，

1

4

），三角形外接圓直徑為

( 1 2 )2+( 2 3 )2

=

5

6

，即半徑為

5

12

，
則三角形外接圓方程為（x-

1

3

）²+（y-

1

4

）²=

25

144

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線的一般式方程與直線的垂直關系，以及兩直線的交點坐標，是一道綜合性較強的題．