Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形， ， ， ， ，四邊形為矩形.

（1）求證：平面平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，確定點(diǎn)的位置并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理得，再由矩形性質(zhì)得，由線面垂直判定定理得，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論 （2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解各平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求點(diǎn)坐標(biāo)，即得點(diǎn)的位置

試題解析：（1）證明：由平面幾何的知識(shí)，易得， ，

又，所以在中，滿足，所以為直角三角形，且.

因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，

所以.

由， ， ，

可得 .

又，

所以平面 平面.

（2）存在點(diǎn)，使得二面角為大小為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

事實(shí)上，以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則, ，

設(shè),由，

即，得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

不妨設(shè)，取.

平面的一個(gè)法向量為.

二面角為大小為

于是.

解得 或（舍去）.

所以當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角為大小為.