Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求證： ，并指出等號成立的條件；

（Ⅱ）求證：對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，有.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析

【解析】試題分析：

(Ⅰ)構(gòu)造新函數(shù) ，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，據(jù)此即可證得.

(Ⅱ)原問題等價于.然后分類討論當(dāng)時和當(dāng)時的情況即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè) .

∵，

∴當(dāng)時， ，故遞增；當(dāng)時， ，故遞減.

因此， ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

（Ⅱ）解法一：“存在實數(shù)，有”等價于.

注意到.∵，

∴當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞增，從而成立；

當(dāng)時，令，得，∴在上遞減，在上遞增

若，即時， 在上遞增，故成立；

若，即時， 在上遞增，故成立；

若，即時， 在上遞減，在上遞增，

故成立.

綜上所述，對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，有.

解法二：①當(dāng)時， 在區(qū)間上遞增，則，

②當(dāng)時，由（Ⅰ）可知；

③當(dāng)時，由（Ⅰ）可知

綜上，對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，有.