Question

【題目】如圖，在等腰梯形中， ， ， ，四邊形為矩形， ，平面平面，點為線段中點．

（Ⅰ）求異面直線與所成的角的正切值；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（１）借助異面直線所成角的定義找出角，再運用解三角形的知識求解；（２）依據題設線面垂直＼面面垂直的判定定理推證；（３）借助線面角的定義先找出線面角，再運用解直角三角形求解：

（Ⅰ）解：取的中點，連接， ．

∵四邊形為矩形， 為線段中點，

∴且，

∴，

∴為異面直線與所成的角．

在中， ， ，

∴且，

又∵平面 平面，

∴平面，

∴．

在中， ， ．

（Ⅱ）證明：在中， ， ， ，

∴，

又∵平面平面，

∴平面，

∴．

在矩形中，∵， ，

∴，

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面．　

（Ⅲ）過點作，

由第（Ⅱ）問知平面平面，

∴平面，

∴為直線與平面所成的角.

在中， ， ，

∴，∴，

∴，

∴直線與平面所成角的正弦值為.