Question

【題目】已知f（x）=ex﹣ax2 ， g（x）是f（x）的導函數． （I）求g（x）的極值；
（II）證明：對任意實數x∈R，都有f′（x）≥x﹣2ax+1恒成立：
（Ⅲ）若f（x）≥x+1在x≥0時恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax2，g（x）=f′（x）=ex﹣2ax，g′（x）=ex﹣2a，

當a≤0時，g′（x）＞0恒成立，g（x）無極值；

當a＞0時，g′（x）=0，即x=ln（2a），

由g′（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g′（x）＜0，得x＜ln（2a），

所以當x=ln（2a）時，有極小值2a﹣2aln（2a）．

（Ⅱ）因為f′（x）=ex﹣2ax，

所以要證f′（x）≥x﹣2ax+1，只需證ex≥x+1，

令k（x）=ex﹣1﹣x，則k′（x）=ex﹣1，且k′（x）＞0，得x＞0；k′（x）＜0，得x＜0，

∴k（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

∴k（x）≥k（0）=0，即ex≥1+x恒成立，

∴對任意實數x∈R，都有f′（x）≥x﹣2ax+1恒成立；

（Ⅲ）令h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，

則h′（x）=ex﹣1﹣2ax，注意到h（0）=h′（0）=0，

由（Ⅱ）知ex≥1+x恒成立，故h′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，

①當a≤ 時，1﹣2a≥0，h′（x）≥0，

于是當x≥0時，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥x+1成立．

②當a＞ 時，由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．

h′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a），

故當x∈（0，ln（2a））時，h′（x）＜0，

于是當x∈（0，ln（2a））時，h（x）＜h（0）=0，f（x）≥x+1不成立．

綜上，a的取值范圍為（﹣∞， ]

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）求出函數的導數，問題轉化為證ex≥x+1，令k（x）=ex﹣1﹣x，根據函數的單調性證明即可；（Ⅲ）令h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，通過討論a的范圍，得到函數的單調性，求出h（x）＜h（0），求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．