Question

【題目】已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量 =（c+a，b）， =（c﹣a，b﹣c），且 ⊥ ．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ⊥ ．∴ =（c+a）（c﹣a）+b（b﹣c）=c2﹣a2+b2﹣bc=0，化為：c2+b2﹣a2=bc．

∴cosA= = ，A∈（0，π）．

∴A= ．

（2）解：由正弦定理可得： = = =2 ，

∴b=2 sinB，c=2 sinC，

∴a+b+c=3+2 （sinB+sinC）=3+2 （sinB+sinC）=3+2 （sin（ ）+sinC）

=6sin +3，

∵C∈ ，∴ ∈ ，

∴sin ∈ ，

∴a+b+c∈（6，9]．

【解析】（1）由 ⊥ ．可得 =（c+a）（c﹣a）+b（b﹣c）=0，化為：c2+b2﹣a2=bc．利用余弦定理即可得出．（2）由正弦定理可得： = = =2 ，b=2 sinB，c=2 sinC，利用和差公式可得：a+b+c=3+2 （sinB+sinC）=6sin +3，再利用三角函數的單調性值域即可得出．