Question

在直角坐標系xOy上取兩個定點A₁（-2，0），A₂（2，0），再取兩個動點N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3。
（1）求直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；
（2）已知點G（1，0）和G′（-1，0），點P在軌跡M上運動，現以P為圓心，PG為半徑作圓Ｐ，試探究是否存在一個以點G′（-1，0）為圓心的定圓，總與圓P內切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）依題意知，直線的方程為：，①
直線的方程為：，    ②
設Q（x，y）是直線與的交點，①×②得，
由mn=3，整理得，
∵不與原點重合，
∴點不在軌跡M上，
∴軌跡M的方程為（x≠±2）。
（2）由（1）知，點G（1，0）和G′（-1，0）為橢圓的兩焦點，
由橢圓的定義，得，即，
∴以G′為圓心，以4為半徑的圓與⊙P內切，
即存在定圓⊙G′，該定圓與⊙P恒內切，其方程為。