Question

在直角坐標系xoy上取兩個定點A₁（-2，0），A₂（2，0），再取兩個動點N₁（0，m）、N₂（0，n）且mn=3．
（Ⅰ）求直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；
（Ⅱ）已知F₂（1，0），設直線l：y=kx+m與（Ⅰ）中的軌跡M交于P、Q兩點，直線F₂P、F₂Q的傾斜角分別為α、β，且α+β=π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析：（I）由直線方程的點斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，聯解并結合mn=3化簡整理得

x2

4

+

y2

3

=1，再由N₁、N₂不與原點重合，可得直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；
（II）由直線l方程與（Ⅰ）中求出的方程消去y，得到關于x的一元二次方程．利用根與系數的關系和直線的斜率公式，結合α+β=π化簡整理，解出m=-4k，所以直線l：y=kx+m即y=k（x-4），可得直線l過定點（4，0）．

解答：解：（I）依題意知直線A₁N₁的方程為：y=

m

2

（x+2）…①；
直線A₂N₂的方程為：y=-

n

2

（x-2）…②
設Q（x，y）是直線A₁N₁與A₂N₂交點，①、②相乘，得y²=-

mn

4

（x²-4）
由mn=3整理得：

x2

4

+

y2

3

=1
∵N₁、N₂不與原點重合，可得點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上，
∴軌跡M的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（II）由題意，可得直線l的斜率存在且不為零
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

-8km

3+k2

且x₁x₂=

4m2-12

3+k2

，
∵α+β=π，kPF2=

kx1+m

x1-1

，kQF2=

kx2+m

x2-1

，
∴kPF2+kQF2=

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，化簡得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
即2k

4k2-12

3+k2

+（m-k）•

-8km

3+k2

-2m=0，整理得m=-4k
因此，直線l：y=kx+m即y=k（x-4），經過定點（4，0）．
綜上所述，直線l過定點，該點的坐標為（4，0）．

點評：本題著重考查了動點軌跡的求法、橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系和一元二次方程根與系數的關系等知識，屬于中檔題．