Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a，b∈R），g（x）= ﹣lnx．
（1）當a=﹣1時，f（x）與g（x）在定義域上的單調性相反，求b的取值范圍；
（2）當a，b都為0時，斜率為k的直線與曲線y=f（x）交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2）于兩點，求證：x1＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=﹣1∴f（x）=lnx+x2﹣bx，由題意可知，f（x）與g（x）的定義域都為（0，+∞）．

∵ =

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減．

又a=﹣1時，f（x）與g（x）在定義域上的單調性相反，

∴f（x）=lnx+x2﹣bx在（0，+∞）上單調遞增．

∴ 對x∈（0，+∞）恒成立

即 對x∈（0，+∞）恒成立，∴只需 ，

∵x＞0，∴ （當且僅當 時，等號成立），

∴ ，∴b的取值范圍為 ．

（2）證明： ．

要證 ，即證 ，

等價于證 ，令 ，

則只要證 ，由t＞1，知lnt＞0，

故等價于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1），（*）

設m（t）=t﹣1﹣lnt（t＞1），則 ，

故m（t）在（1，+∞）上是增函數，

當t＞1時，m（t）=t﹣1﹣lnt＞m（1）=0，即t﹣1＞lnt．

設h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t＞1），則h'（t）=lnt＞0（t＞1），

故h（t）在（1，+∞）上是增函數．

當t＞1時，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．

由可知（*）成立，故

【解析】（1）化簡函數f（x）=lnx+x2﹣bx，求出f（x）與g（x）的定義域都為（0，+∞）．求出函數的導數，判斷g（x）在（0，+∞）上單調遞減，利用f（x）與g（x）在定義域上的單調性相反，推出 對x∈（0，+∞）恒成立，即 對x∈（0，+∞）恒成立利用基本不等式求解最值，即可．（2） ．要證 ，等價于證 ，令 ，等價于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1），設m（t）=t﹣1﹣lnt（t＞1），則 ，通過函數的單調性轉化求解即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．