某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出144件. 如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值
（單位：元，
）的平方成正比.
已知商品單價降低2元時，一星期多賣出8件．
（1）將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？
（1）
（2）見解析
解析試題分析：（1）先設商品降價x元，寫出多賣的商品數，則可計算出商品在一個星期的獲利數，再依題意：“商品單價降低2元時，一星期多賣出24件”求出比例系數即可得一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數；
（2）根據（1）中得到的函數，利用導數研究其極值，從而救是f（x）達到極大值．從而得出所以定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．
試題解析：解：（1）設商品降價元，則每個星期多賣的商品數為
，若記商品在一個星期的獲利為
，則依題意有
， 3分
又由已知條件，
，于是有
， 5分
所以
6分
（2）由（1）得
7分
當變化時，
與的變化如下表：
10分
2 
12 
↘ 極小 ↗ 極大 ↘
故
時，達到極大值．因為
，
，
所以定價為
元能使一個星期的商品銷售利潤最大． 13分
考點：函數模型的選擇與應用．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區間[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上單調，求m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路
（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數
）的圖象，且點M到邊OA距離為
．
（1）當
時，求直路所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度
（單位：千米/小時）是車流密度
（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當
時，車流速度是車流密度的一次函數．
（1）當
時，求函數
的表達式；
（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）
可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
為了保護環境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉化為某種產品，經測算，處理成本
（萬元）與處理量
（噸）之間的函數關系可近似的表示為：
，且每處理一噸廢棄物可得價值為
萬元的某種產品，同時獲得國家補貼萬元．
（1）當
時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；
如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面)．當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結果精確到0.01平方米)．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
我國遼東半島普蘭附近的泥炭層中，發掘出的古蓮子，至今大部分還能發芽開花，這些古蓮子是多少年以前的遺物呢？要測定古物的年代，可用放射性碳法．在動植物的體內都含有微量的放射性14C，動植物死亡后，停止了新陳代謝，14C不再產生，且原有的14C會自動衰變，經過5570年(叫做14C的半衰期)，它的殘余量只有原始量的一半，經過科學家測定知道，若14C的原始含量為a，則經過t年后的殘余量a′(與a之間滿足a′＝a·e－kt)．現測得出土的古蓮子中14C殘余量占原量的87.9%，試推算古蓮子的生活年代．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單
位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y＝
＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
①求a的值；
②若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
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