Question

【題目】已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，以下命題正確的序號是 ．
①如果函數f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），其中ai∈M（i=1，2，3，…，7），那么f′（0）的最大值為127 ．
②數列{an}滿足首項a1=2，ak+12﹣ak2=2，k∈N* ， 當n∈M且n最大時，數列{an}有2048個．
③數列{an}（n=1，2，3，…，8）滿足a1=5，a8=7，|ak+1﹣ak|=2，k∈N* ， 如果數列{an}中的每一項都是集合M的元素，則符合這些條件的不同數列{an}一共有33個．
④已知直線amx+any+ak=0，其中am ， an ， ak∈M，而且am＜an＜ak ， 則一共可以得到不同的直線196條．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：對于①，令g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣an），
則f′（x）=g（x）+xg′（x），
∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），
∴f′（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）…（﹣a7）＜（﹣1）7=﹣1．命題①錯誤；
對于②，n=12，令 ，則bk+1﹣bk=2，b1=4．
對于每一個ai（i＞1）都有兩種取值，共211=2048個．命題②正確；
對于③，這個問題相當于走樓梯問題，一共六級樓梯，可以進一步也可以退一步，
現在在第三級，求走7步后到第四級樓梯的走法．
事實上，必定要向前走四步和向后走三步，共 種走法，但先走四步和先退三步這兩種都是不行的．
∴共33種走法，即符合條件的不同數列{an}一共有33個．命題③正確；
對于④，考慮滿足am＜an＜ak（am ， an ， ak）數組的數量，共 個．
而數組
（1，2，3），（2，4，6），
（3，6，9），（4，8，12），
（1，2，4），（2，4，8），
（3，6，12），（1，2，5），
（2，4，10），（1，2，6），
（2，4，12），（1，3，4），
（2，6，8），（3，9，12），
（1，3，5），（2，6，10），
（1，3，6），（2，6，12），
（1，4，5），（2，8，10），
（1，4，6），（2，8，12），
（1，5，6），（2，10，12），
（2，3，4），（4，6，8），
（6，9，12），（2，3，5），
（4，6，10），（2，3，6），
（4，6，12），（2，4，5），
（4，8，10），（2，4，6），
（4，8，12），（2，5，6），
（4，10，12），（3，4，5），
（6，8，10），（3，4，6），
（6，8，12），（3，5，6），
（6，10，12），（4，5，6），
（8，10，12）中共重復25個數組，
∴一共可以得到不同的直線195條．
命題④錯誤．
所以答案是：②③．
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．