Question

【題目】已知定義在R上的函數f(x)＝2x－.

（Ⅰ）若f(x)＝，求x的值；

（Ⅱ）若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝1 （2）[－5，＋∞)

【解析】試題分析：（1）先根據絕對值定義分類求解方程，注意2x與互為倒數 （2）利用平方差公式將不等式化簡并分離得m≥－(22t＋1)，最后根據求－(22t＋1)最大值，得實數m的取值范圍．

試題解析：解：（Ⅰ）當x＜0時，f(x)＝0，無解；

當x≥0時，f(x)＝2x－，

由2x－＝，

得2·22x－3·2x－2＝0，

將上式看成關于2x的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝－，

∵2x＞0，∴x＝1

（Ⅱ）當t∈[1,2]時，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，

∴m≥－(22t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故實數m的取值范圍是[－5，＋∞)．