Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），若對(duì)任意不等實(shí)數(shù)x₁，x₂滿(mǎn)足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，且對(duì)于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立．又函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，則當(dāng) 1≤x≤4時(shí)，

y

x

的取值范圍為

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：由

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0可得：函數(shù)f（x）是遞減函數(shù)．由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，再結(jié)合f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），進(jìn)而利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)解決問(wèn)題．

解答：解：因?yàn)閷?duì)任意不等實(shí)數(shù)x₁，x₂滿(mǎn)足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
所以函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
又因?yàn)閷?duì)于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，
所以f（x²-2x）≥f（-2y+y²）成立，
所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得：對(duì)于任意的x，y∈R，不等式x²-2x≥y²-2y成立，即（x-y）（x+y-2）≥0（1≤x≤4），
所以可得其可行域，如圖所示：

因?yàn)?span id="jz5tn5l" class="MathJye">

y

x

=

y-0

x-0

，
所以

y

x

表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（0，0）連線(xiàn)的斜率，
所以結(jié)合圖象可得：

y

x

的最小值是直線(xiàn)OC的斜率-

1

2

，最大值是直線(xiàn)AB的斜率1，
所以

y

x

的范圍為：[-

1

2

，1]．
故答案為：[-

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握抽象函數(shù)的性質(zhì)的證明與判斷，如單調(diào)性、奇偶性的證明與判斷，并且熟練的利用函數(shù)的性質(zhì)解有關(guān)的不等式，以及熟練掌握線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，此題綜合性較強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)也比較零散，對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)與運(yùn)用知識(shí)的能力有一定的要求．