Question

【題目】已知函數。

（I）若函數在區間上是單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（II）若函數有兩個極值點且，求證

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）見證明

【解析】

（I）求得函數的導數，把函數在區間上是單調遞增函數，轉化為在上恒成立，即可求解．

（II）求得，把函數有兩個極值點，轉化為在內有兩根，設，根據二次函數的性質求得，同時利用韋達定理，化簡得，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．

（I）由題意，函數，則，

又函數在區間上是單調遞增函數，故在上恒成立，

即在上恒成立，故在上恒成立，

設，，則

故實數的取值范圍為；

（II）易知，

依題意可知在內有兩根，且，

設，則有，

又，

由根與系數關系有，

故，

令，

則有，，

又，，故存在唯一，使得

易知當時有，當時有，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

又，，故對，均有，

故在上單調遞減，又，，故，

即，命題得證．