Question

（滿分12分）
已知函數f ( x )=x ²+ax+b
（1）若f (x)在[ 1，+∞)內遞增，求實數a的范圍。
（2）若對任意的實數x都有f (1+x)="f" (1－x) 成立，
①求實數 a的值；
②證明函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.

Answer 1

① a＝－2②略

解：（1）a ≥－2
(2)由f(1+x)=f(1－x)得，
(1＋x)²＋a(1＋x)＋b＝(1－x)²＋a(1－x)＋b，即：(a＋2)x＝0，
由于對任意的x都成立，∴ a＝－2.
可知 f (x)=x ²－2x+b，下面證明函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.設，
則＝（）－（）
＝（）－2（）＝（）（－2）
∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，
∴ ＞0，即，故函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.
法2：可用導數證明