Question

(本小題滿分12分)
已知點,是平面上一動點,且滿足,
(1)求點的軌跡對應的方程;
(2)已知點在曲線上,過點作曲線的兩條弦,且的斜率為滿足,試判斷動直線是否過定點,并證明你的結論.

Answer 1

(1)即為對應的方程；(2)直線恒過定點.

第一問是平面向量與解析幾何得結合，體現了向量運算的工具作用。熟練向量的運算對于解決這類問題很有幫助。第二問考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題的思路一般是將直線方程代入曲線方程消去一個未知數，然后利用韋達定理處理。
解：(1)由 可知 …………………………1分
設,則,…………2分
代入得:
化簡得:即為對應的方程,        …………………………5分
(2)將代入得∴ …………………………6分
設直線的方程為:
代入消得: …………………………7分
記
則 …………………………8分
∵∴且
∴
∴
∴ …………………………10分
當時代入得: 過定點
當時代入得:過,不合題意,舍去.
綜上可知直線恒過定點.…………………………12分