Question

（15分）點是拋物線上的不同兩點，過分別作拋物線的切線，兩條切線交于點。
（1）求證：是與的等差中項；
（2）若直線過定點，求證：原點是的垂心；
（3）在（2）的條件下，求的重心的軌跡方程。

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）證明見解析。
（3）

（1）對　求導　　得，
所以直線，即
同理, 直線，解得
所以是與的等差中項；                     （5分）
（2）設直線，代入 整理得．
，得  
   即；
，     ，
，     同理，
所以原點是的垂心；（10分，只需證明兩個垂直就得滿分）
（3）設的重心，則
，

因為，所以點的軌跡方程為．              （15分）