Question

【題目】已知f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）設m，n，k為正實數，且m+n+k=f（0），求證：mn+mk+nk≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．

當x＜﹣2時，﹣3（x+2）+（x﹣4）＞2，解得x＜﹣6．

∴x＜﹣6

當﹣2≤x≤4時，3（x+2）+（x﹣4）＞2，解得x＞0，

∴0＜x≤4．

當x＞4時，3（x+2）﹣（x﹣4）＞2，解得x＞﹣4，

∴x＞4．

綜上可得：不等式的解集是{x|x＜﹣6，或x＞0}．

（2）證明：m+n+k=f（0）=2，m，n，k為正實數，

∴（m+n+k）2=4，展開可得：m2+n2+k2+2mn+2mk+2nk=4，

∴m2+n2+k2=4﹣2（mn+mk+nk），

∵m2+n2≥2mn，m2+k2≥2mk，n2+k2≥2nk，

∴m2+n2+k2≥mn+nk+mk，

∴4﹣2（mn+mk+nk）≥mn+nk+mk，

∴mn+mk+nk ，當且僅當m=n=k= 時取等號

【解析】（1）f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．對x分類討論：當x＜﹣2時；當﹣2≤x≤4時；當x＞4時，即可得出不等式的解集．（2）由m+n+k=f（0）=2，m，n，k為正實數，平方展開可得：m2+n2+k2+2mn+2mk+2nk=4，m2+n2+k2=4﹣2（mn+mk+nk），利用重要不等式的性質可得：m2+n2+k2≥mn+nk+mk，代入解出即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．