Question

【題目】已知點(diǎn)P在直線l:y=x-1上,若存在過點(diǎn)P的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),且|PA|=|AB|,則稱點(diǎn)P為“正點(diǎn)”,那么下列結(jié)論中正確的是( )

A.直線l上的所有點(diǎn)都是“正點(diǎn)”

B.直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“正點(diǎn)”

C.直線l上的所有點(diǎn)都不是“正點(diǎn)”

D.直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)(但不是所有的點(diǎn))是“正點(diǎn)”

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)出A，P的坐標(biāo)，進(jìn)而B的坐標(biāo)可表示出，把A，B的坐標(biāo)代入拋物線方程聯(lián)立消去y，求得判別式大于0恒成立，可推斷出方程有解，進(jìn)而可推斷出直線l上的所有點(diǎn)都符合.

如下圖：

根據(jù)題意，設(shè)A(m,n),P(x0,x0-1), 已知|PA|=|AB| ，則B(2m-x0,2n-x0+1),

∵點(diǎn)A,B在y=x2上,∴.

∴消去n,整理得關(guān)于x0的方程為

∵△=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+5>0恒成立,即方程恒有實(shí)數(shù)解,故選A.