Question

已知圓:，過定點作斜率為1的直線交圓于、兩點，為線段的中點.

（1）求的值；

（2）設為圓上異于、的一點，求△面積的最大值；

（3）從圓外一點向圓引一條切線，切點為，且有 , 求的最小值，并求取最小值時點的坐標.

 

Answer 1

（1）2；（2）；（3）；．

【解析】

試題分析：（1）通過⊥求解的值；

（2）當為與垂直的直徑，且與較遠的直徑端點時，△面積最大；

（3）通過△為直角三角形勾股定理列出關系式，然后通過進行轉化，

找出點所在軌跡，然后利用點到直線的距離即可找到的最小值，進而求出點的坐標．

試題解析：（1）由題知圓心，又為線段的中點，∴⊥，

∴，即，∴．

（2）由（1）知圓的方程為，∴圓心，半徑，

又直線的方程是，

∴圓心到直線的距離，．

當⊥時，△面積最大，．

（3）∵⊥，∴，

又，∴．

設，則有，整理得，即點在上，

∴的最小值即為的最小值，

由解得

∴滿足條件的點坐標為．

考點：1.弦所在直線方程的求解；2.最值問題．