Question

設函數f（x）=lg（x²+ax-a-1），給出如下命題：
①函數f（x）必有最小值；
②若a=0時，則函數f（x）的值域是R；
③若a＞0，且f（x）的定義域為[2，+∞），則函數f（x）有反函數；
④若函數f（x）在區間[2，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍是[-4，+∞）．
其中正確的命題序號是

 

．（將你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：對于復合函數f（x）=lg（x²+ax-a-1），通常分解成兩個簡單函數加以討論，一是：y=lgu；另一個是：u=x²+ax-a-1；欲求函數f（x）的最小值、值域、有沒有反函數及單調性，只要看u有沒有最小值、值域、有沒有反函數、單調性即可，即利用復合函數的性質去研究原函數的性質．

解答：解：令u=x²+ax-a-1=（x+

a

2

）²-

a2

4

-a-1≥-

a2

4

-a-1．
又u＞0，故u沒有最小值，所以①錯誤；
當a=0時，u=x²-1∈[-1，+∞），
而（0，+∞）⊆[-1，+∞），所以②正確；
當a＞0時，u=x²+ax-a-1的對稱軸為x=-

a

2

＜0，[2，+∞）為單調遞增區間，
當x∈[2，+∞）時，f（x）有反函數，所以③正確；
對于④應有

- a 2 ≤2 22+2a-a-1＞0

?a＞-3，
所以④錯誤，綜上所述，只有②③正確．

點評：本題主要考查了復合函數的單調性、反函數及對數函數的性質，屬于中檔題．