Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，,,,面，設(shè)為中點，點在線段上,且．

（1）求證：平面；

（2）設(shè)異面直線與的夾角為,若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）2

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知條件用余弦定理和勾股定理推導(dǎo)出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立坐標系．利用向量法能求出BE∥平面ACF；（Ⅱ）分別求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的長

試題解析：（1）由，得，． 又面，

∴ 以分別為 軸建立坐標系如圖．

則 ……2分

設(shè)，，則 ．

由得： ．

解得：，，，

所以． ……4分

∴ ,，．

設(shè)面的法向量為，則，

取． ……7分

，且面， 平面． ……8分

（2） ，，設(shè)與的夾角為

∴ ……11分

即：， ∴， 所以． ……12分