Question

【題目】已知函數．

(Ⅰ)求函數的單調區間和極值；

(Ⅱ)若，均有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 增區間是，減區間是,函數有極小值為 ;(2) .

【解析】試題分析：I）先求函數的導函數f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函數的單調增區間，解不等式f′（x）＜0得函數的單調減區間，最后由極值定義求得函數極值

（II）構造新函數，將恒成立問題轉化為求新函數的最大值問題，利用導數先求此函數的單調區間，再確定其最大值，最后解不等式求得實數a的取值范圍

試題解析：

由題意， ，

（Ⅰ）由得，函數的單調增區間是；

由得，函數的單調減區間是

∴當時，函數有極小值為

（Ⅱ）法一，由于，均有，

即， 恒成立，

∴， ，

由（Ⅰ），函數極小值即為最小值，

∴，解得．

法二，因為，所以不等式等價于，即

設，則，

而，

顯然當時， ，函數單調遞增；

當時， ，函數單調遞減，

所以函數的最大值為，

由不等式恒成立可得，解得．