Question

如圖，在四棱錐中，⊥底面，四邊形是直角梯形，⊥，∥，.

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析;（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）利用線面垂直得到線線垂直，利用線線垂直得到線面垂直，然后得到面面垂直；（Ⅱ）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，通過(guò)二面角的大小計(jì)算得到的值.

試題解析：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BCÌ平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∵BCÌ平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB．5分
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸、AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz．
則B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(1，1，0)．
設(shè)P(0，0，a)（a＞0），
則＝(0，1，0)，＝(2，1，－a)，
＝(1，0，0)             8分
設(shè)n₁＝(x₁，y₁，z₁)為面BPC的一個(gè)法向量，
則n₁·＝n₁·＝0，
即
取x₁＝a，y₁＝0，z₁＝2，得n₁＝(a，0，2)．
同理，n₂＝(0，a，1)為面DPC的一個(gè)法向量．               10分
依題意，|cosán₁，n₂ñ|＝＝＝，
解得a²＝2，或a²＝－7（舍去），所以＝．            12分