Question

【題目】已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是y軸，直線與拋物線交于不同的兩點、，線段中點的縱坐標為2，且.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設拋物線的焦點為，若直線經過焦點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

【解析】

（1）根據題中所給的條件，判斷出拋物線的焦點所在軸以及開口方向，從而設出拋物線的標準方程為，根據定義列出等量關系式，求得，得到拋物線的方程；

（2）根據題意，設出直線的方程為，與拋物線的方程聯立消元得到，利用題意，列出等量關系式，求得k=±，得到結果.

（1）由題意可設拋物線C的標準方程為：，

設，則

∵，∴，所以拋物線C的方程為：

（2）由已知得k一定存在且;故可設直線的方程為：，

則聯立直線與拋物線方程，整理可得：

由韋達定理得，∴=4解得：k=±，

故所求直線方程為.