Question

【題目】已知函數.

（1）當時，解不等式；

（2）畫出該函數的圖象，并寫出該函數的單調區間（不用證明）；

（3）若函數恰有3個不同零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）圖象見解析，單調遞減區間是，單調遞增區間和；（3）

【解析】

（1）由時，，從而可得，解不等式組即可；

（2）結合指數函數的性質，及二次函數的性質，可得到的單調區間，并作出函數的圖象；

（3）由恰有3個不同零點，可知與的圖象有3個不同交點，結合的圖象，可求得的取值范圍.

（1）由題意，當時，，則，解得.

（2）當時，，

因為函數在上單調遞減，所以在上單調遞增.

當時，，此時是對稱軸為的二次函數的一部分，所以在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，，當時，.

作出函數的圖象，如下圖所示：

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是和.

（3）函數恰有3個不同零點，即方程有3個不同解，

所以函數與直線的圖象有3個不同交點，

由的圖象知，當，與直線的圖象有3個不同交點，

所以實數的取值范圍是.