Question

（本小題滿分12分）
已知實軸長為，虛軸長為的雙曲線的焦點在軸上，直線是雙曲線的一條漸近線，且原點、點和點）使等式成立.
（I）求雙曲線的方程；
（II）若雙曲線上存在兩個點關于直線對稱，求實數的取值范圍.

Answer 1

解：（I）根據題意設雙曲線的方程為 …………2分
且, 解方程組得
所求雙曲線的方程為       …………6分
（II）當時，雙曲線上顯然不存在兩個點關于直線對稱；
       …………7分
當時，設又曲線上的兩點M、N關于直線對稱，.
設直線MN的方程為則M、N兩點的坐標滿足方程組
 , 消去得
顯然 即
設線段MN中點為 則.
在直線………10分
即 
 
 即
的取值范圍是. …………12分

略