Question

【題目】已知函數f（x）= sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常數）圖象上的一個最高點為（ ，1），與其相鄰的最低點是（ ，﹣3）．
（1）求函數f（x）的解析式及其對稱中心；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 =﹣ ac，試求函數f（A）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是常數）

化簡得：f（x）=2sin（ωx+ ）+c；

∵2sin（ωx+ ）∈[﹣1，1]，即f（x）的最大值為2+c．

函數f（x）圖象上的一個最高點為縱坐標為1，即最大值為1，

則有：2+c=1，解得：c=﹣1．

∵最高點為（ ，1），與其相鄰的最低點為（ ，﹣3）．

∴ ，

解得：T=π，

∵T= ，

∴ω=2

故得：函數f（x）=2sin（2x+ ）﹣1；

對稱中心：2x+ =kπ，（k∈Z）

解得：x= ．

故得：函數f（x）的對稱中心坐標為（ ，﹣1）（k∈Z）

（2）解：由（1）可得函數f（A）=2sin（2A+ ）﹣1；

∵ =﹣ ac， ，

∴﹣accosB=﹣ ac，

可得：cosB= ，

故得：B= ．

∴A∈（0， ）

2A+ ∈（ ， ），

∴函數f（A）=2sin（2A+ ）﹣1的值域（﹣3，1]．

即函數f（A）的取值范圍是（﹣3，1]

【解析】（1）將函數f（x）化簡，圖象上的一個最高點為（ ，1），可得C的值，與其相鄰的最低點是（ ，﹣3）．可得周期．從而得到f（x）的解析式．根據三角函數的圖象及性質可得對稱中心；（2） =﹣ ac，利用夾角公式，可得cosB的值，即B的值，利用f（x）的解析式可求解．
【考點精析】掌握正弦函數的對稱性是解答本題的根本，需要知道正弦函數的對稱性：對稱中心；對稱軸．