Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間及極值；

（3）對， 成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）單調遞減區間為，單調遞增區間為．極小值為，無極大值．（3）

【解析】試題分析：（1）由題意知函數的定義域，對求導，求出在處切線的斜率，聯系切點坐標即可求出切線方程；（2）由題意得函數的解析式，對求導，分別求出和即可求出單調區間及極值；（3）對， 恒成立等價于對， ，構造新函數，將求導，對進行分類討論，求出單調性及最值，即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）由題意知的定義域為且， ，

又∵，故切線方程為．

（2）， ，

當時，則， ，此時， 在上單調遞減；

當時，則， ，此時， 在上單調遞增．　

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為．

當時， 取極小值，且極小值為， 無極大值．

（3）對， 成立，即，

令，則當時， 恒成立，

因為，

①當時， ， 在上單調遞增，故，

這與恒成立矛盾；

②當時，二次方程的判別式，令，解得，此時， 在上單調遞減，

故，滿足恒成立．　

由，得，方程的兩根分別是， ，其中， ，

當時， ， 在上單調遞增， ，這與恒成立矛盾．

綜上可知： ．