Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F(1，0)，拋物線E：x2＝2py的焦點為M.

(1)若過點M的直線l與拋物線C有且只有一個交點，求直線l的方程；

(2)若直線MF與拋物線C交于A，B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)由題意得拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F(1，0)，拋物線E：x2＝2py的焦點為M，所以p＝2，M(0，1)，

①當直線l的斜率不存在時，x＝0，滿足題意；②當直線l的斜率存在時，設方程為y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，當k＝0時，x＝，滿足題意，直線l的方程為y＝1；當k≠0時，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，所以k＝1，方程為y＝x＋1，綜上可得，直線l的方程為x＝0或y＝1或y＝x＋1.

(2)結合(1)知拋物線C的方程為y2＝4x，直線MF的方程為y＝－x＋1，

聯立得y2＋4y－4＝0，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，

所以|y1－y2|＝4，

所以S△OAB＝|OF||y1－y2|＝2.