Question

已知是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，是的焦點(diǎn)， 以為直徑的圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為.
（Ⅰ）求與的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率大于零的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，證明：直線(xiàn)與圓相切.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用為圓的直徑，則求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上求得曲線(xiàn)的方程，再 根據(jù)圓的圓心是的中點(diǎn)，易求圓的方程；（Ⅱ）聯(lián)立方程組，消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求出 ，利用弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式求出直線(xiàn)的方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求圓心到的距離等于圓的半徑，證明直線(xiàn)與圓相切.
試題解析：(Ⅰ) 為圓的直徑，則，即，
把代入拋物線(xiàn)的方程求得，
即，；       3分
又圓的圓心是的中點(diǎn)，半徑，
則：.       5分
(Ⅱ) 設(shè)直線(xiàn)的方程為，,，
由得，則  7分
設(shè)的面積為,則
     9分
解得：，又，則，
∴直線(xiàn)的方程為，即，
又圓心到的距離，故直線(xiàn)與圓相切.   12分
考點(diǎn)：拋物線(xiàn)方程，圓的方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式.