Question

（13分）橢圓C:長軸為8離心率

 

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓C內(nèi)一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，

求這條弦所在的直線方程。

 

Answer 1

【答案】

答案：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程為            （6分）

（2）解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：

又設(shè)直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是

，

又M為AB的中點，所以， 

解得，                              （5分）

故所求直線方程為。             （2分）

解法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A()，B（），M（2，1）為AB的中點，

所以，，

又A、B兩點在橢圓上，則，，

兩式相減得，

所以，即，   （5分）

故所求直線方程為。              （2分）

 

解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），

則另一個交點為B(4-)，

因為A、B兩點在橢圓上，所以有，

兩式相減得，

由于過A、B的直線只有一條，                  （5分）

故所求直線方程為。               （2分）

【解析】略